Słowo “binarny” można zamienić na “dwójkowy” (bi- dwa). Intuicyjnie powinieneś czuć, że jego podstawą jest liczba 2, jeżeli tak jest to intuicja Cię nie myli. W tym systemie są tylko dwie cyfry: 0 i 1. Na pojedynczą cyfrę w systemie binarnym mówi się bit- najmniejsza, niepodzielna wartość informacji. Za ich pomocą można zbudować dowolną wartość w taki sam sposób jak ma to miejsce w systemie dziesiętnym. Te wartości nie należą do najbardziej czytelnych dla człowieka, ale jest kilka sposobów aby sobie z tym poradzić.

Zmiana wartości decymalnej na binarną

Wartości binarne mają postać ciągu zer i jedynek, np. 10101. Możemy powiedzieć, że wartość 10101 jest dziesiętną liczbą zakodowaną binarnie. Jak odkodować taką liczbę? Pamiętasz potęgi, które zostały przedstawione w opisie systemu dziesiętnego? Tak samo postępujemy w systemie binarnym (i każdym innym- tak, jest ich więcej):

Zmiana systemu z binarnego na decymalny #1

Po wyliczeniu wartości każdej z potęg: Zmiana systemu z binarnego na decymalny #2

Czyli:

Zmiana systemu z binarnego na decymalny #3

Daje nam 21. Viola!

Ściąga

A tak na poważnie, wydaje się to bardzo zagmatwane, a ile to pisania... Na szczęście można dopatrzeć się tutaj pewnej zależności. Ponieważ system binarny składa się tylko z zera i jedynki, a inaczej mówiąc, z informacji tak i nie, możemy przyjąć, że każda cyfra informuje nas, czy dana potęga jest albo jej nie ma. Popatrz na to, poniżej przedstawiam tabelkę-ściągę, która w drugim rzędzie opisuje kolejne jedenaście potęg liczby 2 a w czwartym wartość tej potęgi. Rząd trzeci jest po to aby łatwiej zrozumieć wartości w rzędzie poniżej. Intencjonalnie umieszczam najniższą (najmłodszą) potęgę po prawej stronie a największą (najstarszą) po lewej ponieważ tak jest najbardziej naturalnie (tak ma to miejsce w systemie dziesiętnym).

Uniwersalna tabela wartości konwersji systemu binarnego do decymalnego i odwrotnie

W tym momencie powinny się Tobie zapalić jakieś lampki. Na pewno spotkałeś się już kiedyś z takimi wartościami jak 32, 64 czy 1024 w kontekście informatyki. Teraz już wiesz, skąd się to wzięło. Wracając do naszej zgapki- mając taką tabelkę, wystarczy, że rozłożymy dowolną liczbę binarną i umieścimy kolejne cyfry tej liczby w odpowiednie miejsca ich potęg a następnie zsumujemy wszystkie wartości tych potęg, gdzie występuje 1 a wszystkie zera pomijamy (ponieważ dowolna wartość potęgi pomnożona przez 0 da 0). Sprawdźmy czy to naprawdę działa. Dla przykładu weźmy wartość: 10101100. Wartość ma 8 cyfr, możemy dowolnie dopełnić ją zerami z lewej strony- nie zmieni to jej wartości. Umieszczamy tę wartość w kolejne kratki, od końca tabelki (najmłodszy bit po prawej stronie):

Przykładowe użycie uniwersalnej tabeli

Dodajemy do siebie tylko te wartości, w których bit ma wartość 1, czyli:

Wynik użycia uniwersalnej tabeli

Daje 172. Na kartce zrobisz to jeszcze szybciej niż ja na komputerze w edytorze tekstu. Bawiąc się wartościami binarnymi możemy odkryć wiele zależności. Najłatwiej zauważyć, że aby uzyskać liczbę nieparzystą, musi ona mieć wartość 1 w najmłodszym bicie, czyli najmłodszy bit decyduje o parzystości liczby.

Zmiana wartości binarnej na decymalną

W drugą stronę jest nieco więcej liczenia, trochę tak jak z dodawaniem i odejmowaniem- odejmowanie raczej przysparza więcej trudu. Jak zakodować binarnie wartość, np. 79? Popatrz na tabelkę-zgapkę. Kodowanie zaczynamy od największej wartości potęgi, która mieści się w liczbie, którą chcemy zamienić. Jaka jest największa wartość potęgi, która “mieści” się w 79? 128 jest za duża, kolejna to 64. Czyli najstarszy bit zakodowanej wartości jest na pozycji 7 (26 = 64)- zakodowana wartość będzie składać się z 7 bitów. Odejmujemy od naszej liczby (79) wartość tej potęgi

Przykład

Przykład operacji zmiany wartości dziesiętnej na binarną #1

Teraz od reszty, która nam została odejmujemy kolejną największą wartość potęgi, która mieści się w 15 idąc od lewej do prawej strony kolejnych potęg. Następna potęga to 25 (25 = 32), 32 jest większa od 15, a więc ten bit będzie miał wartość 0

Przykład operacji zmiany wartości dziesiętnej na binarną #2

Kolejna potęga, 24 (24 = 16) jest większa niż 15 (16 > 14)- bit na tej pozycji również nie będzie ustawiony, czyli: Przykład operacji zmiany wartości dziesiętnej na binarną #3

Następnie sprawdzamy bit na pozycji 4, 23 (23 = 8), 8 mieści się w 15 czyli ten bit będzie miał wartość 1:

Przykład operacji zmiany wartości dziesiętnej na binarną #4

Teraz dekodujemy wartość 7 w taki sam sposób, kolejny bit na pozycji drugiej, 22 mieści się w 7- odejmujemy tę wartość:

Przykład operacji zmiany wartości dziesiętnej na binarną #4

Teraz dekodujemy wartość 3 w taki sam sposób, kolejny bit na pozycji drugiej, 21 mieści się w 3- odejmujemy tę wartość:

Przykład operacji zmiany wartości dziesiętnej na binarną #6

I ostatecznie pozostała nam wartość 1. 20 = 1 i to kończy dekodowanie. Uzyskaliśmy zakodowaną wartość 1001111. Jak poćwiczysz to kilka razy to zobaczysz, że jest to całkiem przyjemne.